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在你出生之时，我曾想到，希望你在这世上幸福生活的同时，也能成为社会进步的推动者。虽然现代社会问题不少，不过我认为现在是人类历史中最精彩的时代。我也像每一位父母一样，希望自己的子女能够享受到世界上最好的东西。不过，仅仅这样并不够，这个精彩的时代是人类的智慧和努力构建出来的。我希望你不只是成果的受惠者，也希望你能成为创造者，为后世留下更好的成果。

21 世纪也可以说是一个不确定的时代，国际社会的规则也在不断改变。中国有13 亿人，印度有12 亿人。如果这些群体的大多数接受高等教育，进而从事知识研究事业，世界的面貌又会为之一新。说起这件事情，有些人担心日本和美国的发达国家地位会因此受到威胁，但我并不这么认为。如果发展中国家几十亿人获得良好的教育机会，也会随之诞生出很多解决目前社会问题的新途径。世界整体教育水平上升，能够分配的“蛋糕”才能更大。这些情况，对于生于21 世纪的你，既是挑战，也是一个巨大的机会。

在这个瞬息万变的世界中，自主思考的能力必不可少。欧洲有“七艺”（Liberal Arts）的教育传统，Liberal 原指“自由”，即“永不为奴”的意思。也就是说，Liberal Arts 是一种让人自主掌握命运、成为自由之人的素养。不管是成为领导者之时，还是面临预想之外的问题之时，都必须锻炼自主思考解决问题的能力。

在古罗马时期，“七艺”为逻辑、语法、修辞、音乐、天文，还有算术和几何。最开始的三项是为了磨炼“论证”的语言技术，我认为这三项排在前面，是因为它们是语言成形的必要条件，只有学会使用语言，才能获得思考的能力。

“七艺”之中的“算术”和“几何”都属于数学领域，我觉得很有趣。通常情况下，大家会认为语言领域的文学或外国语言文学属于文科，数学属于理科，但我认为数学是和语言学习一样的东西。数学可以精准地描述事物，这种描述能力超越了英语、日语等自然语言的表现能力。所以如果理解数学...

以下是公元前 4 世纪的哲学家欧布里德提出的一个悖论。

“我正在说谎。”

这个命题本身就自相矛盾。命题 A 存在“矛盾”意味着可以推导出与命题 A 不同的命题 B，以及否定命题 A 的否定命题 B。假设欧布里德的命题是 A，那么可以推导出 B：“欧布里德正在说谎。”但是，因为欧布里德正在说谎，所以命题 A 本身也是谎言，从而可以推导出否定命题 B：“欧布里德没有在说谎。”因此，欧布里德的命题自相矛盾。这就是“自我指涉引发的悖论”。

自我指涉引发的悖论很容易解决，只要将其理解成“无意思的命题”即可。例如谁都会读“我正在说谎”这句话，但是这句话并不符合逻辑。悖论带给我们的教训就是，含有自我指涉意味的句子其实不含任何意思。

这看起来好像是文字游戏，不过关系到著名的“哥德尔不完备性定理”。古希腊的悖论在两千年后给希尔伯特的宏大计划带来了致命的打击。

Liberal Arts 是一种让人自主掌握命运、成为自由之人的素养。

但是，如果使用这个方法判定300位数是否是素数，因为10＾300的平方根是10＾150，所以必须一一验证是否能够被10＾150个数整除。所谓的“京速计算机”可以在1秒内进行10＾150次的演算。宇宙的年龄有138亿年，差不多4×10＾7秒，那么，即使用京速计算机从宇宙诞生起计算到现在，也只能进行4×10＾33次。这样还是无法判断300位数是否是素数。

[开始证明]使用反证法，假设“存在能判定停止的程序”。所以在输入别的程序P时，这个程序会提醒我们P是否会停止。如果存在能判定停止的程序，那么就可以创建新程序，即当输入P时，

（1）如果判定P会停止，那么继续运行。

（2）如果判定P不会停止，那么停止运行。

虽然有点奇怪，不过只要存在能判定停止的程序，就可以创建上述新程序。

那么如果把这个程序本身输入该程序内又会怎么样呢？如果判定结果是该程序会停止，那么必须按照（1）继续运行。但是继续运行的话，那么必须按照（2）停止。因为二者相互矛盾，所以不可能创建这样的程序。[结束证明]”

[开始证明]假设第一不完备性定理不正确。那么，所有对于自然数的命题都能被证明或者被否定。图灵机处理的对象是写入磁带的符号，因此程序是否停止这个问题可以解释为处理自然数的命题。那么，可以证明或者否定命题“程序会停止”。因此如果这个步骤替换成程序的话，相当于能创建判定停止的程序。因为不存在能判定停止的程序，所以该命题自相矛盾。由于矛盾是从“第一不完备性定理不正确”的假设中推导而出，因此证明了该定理。[结束证明]

第一不完备性定理：任意一个包含自然数及其算术运算在内的公理中，当这个公理无矛盾时，对于自然数都存在一个命题，它在这个公理中既不能被证明也不能被否定。

第二不完备性定理：任意一个包含自然数及其算术运算在内的公理中，当这个公理无矛盾时，它的无矛盾性不可能在这个公理系统内得到证明。

证明某个公理系统的无矛盾性需要思考更大的公理系统。如果存在更大的公理系统，能够证明某个公理系统无矛盾性的话，可以说这个更大的公理系统比原来的公理系统更“强”。一般情况下很难判定两个给定的公理系统是否属于相同级别。但是，如果是两个满足不完备性定理条件的公理系统，并且使用其中一个公理系统可以证明另一个公理系统的无矛盾性的话，说明其中存在“强弱”关系，从而表明这两个公理系统并不属于相同级别。不完备性定理还有上述作用。。不完备性定理是对于自然数体系的见解，拥有完备且无矛盾的公理系统。例如，实数的加法运算和乘法运算中不存在矛盾。不过在实数的范围中，如果要给作为其中部分集合的自然数下定义的话，在这个理论之内无法证明自身不存在矛盾。所以，不完备性定理是对于包含自然数在内的理论的限定性见解。我们有时会听到类似“哥德尔定理表明了我们的知识是不确定的”的说法，其实这个定理并不具有这种普遍性的意义。

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